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数学史上关于圆的知识(数学史上关于圆的面积的数学小知识)

本文主要为您介绍数学史上关于圆的知识,内容包括数学史上关于“圆的面积”的数学小知识,寻找所有与圆有关的知识点,求初中数学圆的知识点(最好带图)。人们常说:一把钥匙,开一把锁。当你拿起另外一把相似的钥匙想打开这把锁时,你不认为着拿错了钥匙,却意味着眼下的锁头与钥匙磨合不到位。关于圆

1.数学史上关于“圆的面积”的数学小知识

人们常说:一把钥匙,开一把锁。当你拿起另外一把相似的钥匙想打开这把锁时,你不认为着拿错了钥匙,却意味着眼下的锁头与钥匙磨合不到位。

关于圆面积的数学小知识,中外史上都在借助“正6x2ⁿ边形面积πR²或πr²”这把钥匙想打开圆面积这把锁,不是拾错了钥匙吗?

πR²或πr²的推理是给圆的内接或外切正6x2ⁿ边形,随着n的无穷大的推理。n的无穷大依然是正6x2ⁿ边形的面积对圆面积无关。

根据面积“软化”等积变形公理发现:如果圆面积是7a²,那么它的外切正方形面积就是9a²,为此推出"圆面积等于直径3分之1平方的7倍"。圆的面积公式: s=7(d/3)²。

2.寻找所有与圆有关的知识点

圆的有关性质 一,〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1. 正确理解和应用圆的点集定义,掌握点和圆的位置关系; 2. 熟练地掌握确定一个圆的条件,即圆心、半径;直径;不在同一直线上三点。

一个 圆的圆心只确定圆的位置,而半径也只能确定圆的大小,两个条件确定一条直线,三个条件确定一个圆,过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一; 3. 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质:同(等)圆中半径相等、直径相等直径是半 径的2倍;直径是最大的弦;圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线都是对称轴;圆是中心对称图形,圆心是对称中心;圆具有旋转不变性;垂径定理及其推论;圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系; 4. 掌握和圆有关的角:圆心角、圆周角的定义及其度量;圆心角等于同(等)弧上的 圆周角的2倍;同(等)弧上的圆周角相等;直径(半圆)上的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 5. 掌握圆内接四边形的性质定理:它沟通了圆内外图形的关系,并能应用它解决有关 问题; 6. 注意:(1)垂径定理及其推论是指:一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦” ③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件,则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制),条理性的记忆,不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用,垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据;(2)有弦可作弦心距组成垂径定理图形;见到直径要想到它所对的圆周角是直角,想垂径定理;想到过它的端点若有切线,则与它垂直,反之,若有垂线则是切线,想到它被圆心所平分;(3)见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角,要想到应用圆内接四边形的性质。 〖考查重点与常见题型〗 1. 判断基本概念、基本定理等的正误,在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学 生对基本概念和基本定理的正确理解,如:下列语句中,正确的有( ) (A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦 (C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 2. 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。

此种结论的证明重 点考查了全等三角形和相似三角形判定,垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质,弦切角等有关圆的基础知识,常以解答题形式出现。 二,〖知识点〗 相交弦定理、切割线定理及其推论 〖大纲要求〗 1. 正误相交弦定理、切割线定理及其推论; 2. 了解圆幂定理的内在联系; 3. 熟练地应用定理解决有关问题; 4. 注意(1)相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理,圆幂定理是圆和相似 三角形结合的产物。

这几个定理可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线)。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点; (2)见圆中有两条相交想到相交弦定理;见到切线与一条割线相交则想到切割线定理;若有两条切线相交则想到切线长定理,并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。

〖考查重点与常见题型〗 证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形,切割线定 理及其推论,相交弦定理及圆的一些知识。

常见题型以中档解答题为主,也有一些出现在选择题或填空题中。 。

3.求初中数学圆的知识点(最好带图)

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧12、推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等15、推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论:1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等18、推论:2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径19、推论:3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形20、定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角21、①直线L和⊙O相交 dr 22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29、推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等30、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等31、推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33、推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上35、①两圆外离 d>R r ②两圆外切 d=R r ③两圆相交 R-rr) ④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含 dr) 36、定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理:把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆39、正n边形的每个内角都等于(n-2)*180°/n 40、定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41、正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长42、正三角形面积√3a/4 a表示边长43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k (n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 44、弧长计算公式:L=n兀R/180 45、扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2 46、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R r)。

4.

割圆术 魏晋间人刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精密之值,创造了「割圆术」,为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。

所谓圆周率,是指圆的周长与直径的比率。 在刘徽之前,中国通常采用的是「古率」,即取圆周率为3,很不精确,它实际上是圆内接正六边形周长与圆的直径之比,而不是圆的周长与直径之比。

但是,刘徽却从中得到启发:如果把圆周分割成十二等分,作出圆内接正十二边形,那么它的面积和周长就相应地比圆内接正六边形接近于圆的面积和周长,因而用圆内接正十二边形周长与圆直径之比作圆周率的近似值,就比「周三径一」精确一些。 如果进一细分,作出圆内接二十四边形,那么又可求出更精确一些的圆周率近似值。

「 割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣 」。

刘徽从圆内接正六边形开始,不断倍增图形的边数,边数愈多,多边形的面积便愈接近圆的面积,这就是刘徽所创的「割圆术」了。 刘徽从圆内接正六边形一直割到圆内接正一百十二边形,得出圆周率近似值为3.14 ,当刘徽把正多边形的边数倍增至3072时,又求得圆周率的分数值为 ,小数的近似值为3.1416 ,准确至四位小数。

后世称这个数为「徽率」。 都是当时世界第一流水平的成就。

二百多年后,祖冲之继续推算,于得出了更精确的结果: 3。1415926。

5.圆在初中数学中的地位和作用

1.教材的地位和作用圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。

它是常见的几何图形之一,在初中数学中占有重要地位,中考中分值占有一定比例,与其它知识的综合性较强。本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的巩固,也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的基础。

2.教学目标课程标准对圆这一章的要求是:“在教学中,应注重所学内容与现实生活的联系,注重使学生经历观察,操作,推理,想像等探索过程”。根据这一要求和本课时内容的地位和作用以及九年级学生的认知结构,我确定了以下教学目标:【知识与技能】通过观察、操作、归纳等理解圆的定义,理解弦、弧、直径、等圆、等弧等相关概念;并通过对“草坪问题”的讨论等活动提高学生运用圆的相关知识解决生活中实际问题的能力。

【过程与方法】采取课件与导学案相结合,学生自主学习与小组合作相结合的教学方法,让学生体会圆的不同定义,感受圆和实际生活的联系,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。【情感态度与价值观】在解决问题的过程中体会圆的知识在生活中的普遍性,以及圆在生活和生产中的地位和作用,增强学生学习数学的兴趣。

3.教材重、难点的处理根据教学内容和学生实际,遵循课程标准,在认真钻研教材的基础上,本节课我确定了以下教学重点和难点:重点:1.圆的两种定义和圆的有关概念的学习。2.能够解释和解决一些生活中关于圆的问题。

难点:圆的第二种定义。为了突破难点,将抽象的文字叙述转化为图形,我设计了学生自己动手画圆及观看老师演示等方法,最后辅之以相关练习题,使学生得以巩固。

二、学情分析九年级学生在过去的生活和学习中对圆的知识已经有了一些认识,初步体会到圆在生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面均广泛存在,这对进一步探究圆的定义及相关性质奠定了一定的基础。但对圆的相关性质掌握较少,对知识的转化能力较差,所以重在要学生参与,主动探究,增加解决实际问题的能力。

三、教法、学法分析1.教法分析:《新课标》指出:要“在掌握基础知识的同时,感受数学的意义”,提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学、理解数学”,使学生感受到数学就在我们身边,我采用迁移法,通过观看老师制作的关于圆的图片,把学生的思维带进有圆存在的地方,充分调动学生已有的知识,再用“引导法”与导学案相结合,让学生学习圆的定义及相关知识。2.学法分析:充分利用学案,引导学生采用动手操作、自主探究、合作交流等学习方法进行学习,充分发挥学生的主体作用,使知识和能力得到内化。

四、教学设计为了实现教学目标,突出教学重点,突破教学难点,我做出以下教学设计:活动1 课件展示生活中含有圆形状的大量图片,创设情境,激发学生学习兴趣,并向学生介绍数学史,引出本节课的内容。目的:让学生感受到圆的无处不在,圆中蕴涵着数学美;体会到中国文化的博大精深,提高他们的学习兴趣。

活动2 向学生介绍学习目标。目的:让学生对本节课的主要内容做到心中有数,目的明确。

活动3 学生自学,理解圆的相关概念。目的:结合导学案,学生自主地学习本节知识,提高自学能力。

附学案“自学指导”部分:学生自学课本78---79页内容,完成以下问题:1.请用圆规画出一个圆,并从圆的形成过程给出圆的定义。2.写出几例圆在生活中的应用,并将圆与三角形、四边形进行比较,写出圆的特性,从集合的角度归纳圆的第二个定义.3.为什么车轮做成圆的?4.如图,按标注的字母,说出图中的圆心、弦、半径、直径、半圆、优弧和劣弧,并把表示它们的符号填在下面的表格中. 名称圆心弦半径 直径 半圆 优弧 劣弧符号5.认识等圆和等弧、等圆.容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等,能够互相重合的弧叫做等弧.活动4 检查自学情况其中问题3在教师播放车轮动画的引导下,讨论车轮为什么做成圆形,而不做成正方形和三角形。

目的:提高学生运用所学的数学知识解释生活中的一些问题的能力,体会数学在生活中的作用和地位,同时也提高学生学习数学的兴趣。对问题5要特别强调“互相重合”。

活动5 课堂练习目的:加深对圆及其有关概念的认识。 附学案“课堂练习”部分:1.平面上到点A的距离等于5cm的所有点组成的图形 是以点A为 ,5cm为 的圆.2.如图,AB为⊙O的弦,∠AOB=800,则∠A等于( )A500 B. 550 C. 650 D. 8003.判断下列说法是否正确:(1)因为直径是弦,所以半径也是弦.( )(2)直径是弦,弦是直径.( )(3)已知A为⊙O内一点,经过点A的直径有一条或无数条.( )活动6:议一议 小明和小强为了探究 ⊙O中有没有最长的弦,经过了大量的测量(如下图),最后得出一致结论:直径是圆中最长的弦,你认为他们的结论对吗?试说说你的理由.目的:使学生更深刻的理解直径与弦,明白直径是圆中最长的弦的道理。

活动7:画一画如图,一根5m长的绳子,一端栓在点O处的柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.目的:提高学生。

6.祖冲之及刘辉在圆相关知识上的贡献

南北朝时祖冲之算出的圆周率的近似值在3.1415926和3.1415927之间,并提出圆周率的疏率为22/7,密率为355/113。祖冲之首创上下限的提法,将圆周率规定在这个界限间。并且他的圆周率精确值在当时世界遥遥领先,直到1000年后阿拉伯数学家阿尔卡西才超过他。所以,国际上曾提议将“圆周率”定名为“祖率”。

祖冲之还给出π的两个分数形式:22/7(约率)和355/113(密率),其中密率精确到小数第7畅场扳渡殖盗帮醛爆互位,在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用“牟合方盖”解决了球体积的计算问题,得到正确的球体积公式。

刘徽,山东邹平县人,魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》。

在几何方面,提出了“割圆术”,即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他用割圆术,从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆,依次得正12边形、正24边形……,割得越细,正多边形面积和圆面积之差越小,用他的原话说是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法,奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先地位。用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理,并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。

7.求

奇妙的圆形 圆形,是一个看来简单,实际上是很奇妙的圆形。

古代人最早是从太阳,从阴历十五的月亮得到圆的概念的。就是现在也还用日、月来形容一些圆的东西,如月门、月琴、日月贝、太阳珊瑚等等。

是什么人作出第一个圆呢? 十几万年前的古人作的石球已经相当圆了。 前面说过,一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆。

山顶洞人是用一种尖状器转着钻孔的,一面钻不透,再从另一面钻。石器的尖是圆心,它的宽度的一半就是半径,一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。

以后到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。

当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。 6000年前的半坡人(在西安)会建造圆形的房子,面积有十多平方米。

古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。

当然了,因为圆木不是固定在重物下面的,走一段,还得把后面滚出来的圆木滚到前面去,垫在重物前面部分的下方。 大约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆的木盘。

大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。因为轮子的圆心是固定在一根轴上的,而圆心到圆周总是等长的,所以只要道路平坦,车子就可以平衡地前进了。

会作圆,但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。

一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:“一中同长也”。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。

这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。 圆周率,也就是圆周与直径的比值,是一个非常奇特的数。

《周髀算经》上说“径一周三”,把圆周率看成3,这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候,也只知道圆周率是3。

魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注。他发现“径一周三”只是圆内接正六边形周长和直径的比值。

他创立了割圆术,认为圆内接正多连形边数无限增加时,周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率,π= 3927/1250,请你将它换算成小数,看约等于多少? 刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。

祖冲之(公元429-500年)在前人的计算基础上继续推算,求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间是世界上最早的七位小数精确值,他还用两个分数值来表示圆周率:22/7称为约率,355/113称为密率。 请你将这两个分数换成小数,看它们与今天已知的圆周率有几位小数数字相同? 在欧洲,直到1000年后的十六世纪,德国人鄂图(公元1573年)和安托尼兹才得到这个数值。

现在有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后一千万以上了。

数学史上关于圆的知识

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